Propiedades de los Triangulos

1. Un lado de un triangulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2. La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180°.

A + B + C = 180°

3. El valor de un angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de interiores no adyacentes

a = A + B 

a = 180° - C

4. En un triangulo a mayor lado se opone mayor angulo.

5. si un triangulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Fuente: http://www.ditutor.com/geometria/triangulo_propiedades.html

Congruencia de Triangulos

Observa los siguientes triángulos:

Al mirar los dos pares de triangulos se puede apreciar que en ambos los triangulos tienen entre si forma y tamaño

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triangulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el simbolo

Definicion:

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son: 

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que : 

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia. 
Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:

Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Triangulos_congruencia.html

Semejanza de Triangulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homologos.

Son angulos homologos:

Dos triangulos son semejantes cuando tienen sus angulos homologos iguales y sus lados homologos proporcionales.

 La razon de la proporcion entre los lados de los triangulos se llama razon de semejanza. 

La razon de las areas de los triangulos semejantes es igual al cuadrado de si razon de semajanza.

Fuente: http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_2.html

Teoremas de Proporcionalidad

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (Reflexividad, simetría y transitividad)

son las mismas que las de la semejanza.

9.6: Teorema fundamentar de la proporcionalidad:

Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a estos proporcionalmente y su reciproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Fuente: http://geometreandoando.blogspot.com/2011/02/teorema-fundamental-de-la.html

Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.

Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un numero negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es o bien negativa o bien inexistente en los números reales. 

Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

Fuente: http://epielgeometra.blogspot.com/2011/01/el-concepto-de-proporcionalidad-es.html